Ортодромия

Какой кратчайший путь между двумя точками?

Казалось бы, глупый вопрос. Со школы мы знаем, что кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости - прямая, отсюда:
 `L = sqrt( (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 )`
Ключевое слово здесь плоскость. Если поверхность вогнутая или выпуклая (например, поверхность земного шара), то приходится считаться с этой кривизной.

Если мы прокладываем путь на карте и расстояние невелико (например, десятки километров), а точки находятся вблизи экватора, то можно считать, что земля на этом участке "плоская" и пренебречь ее формой. Это значительно упрощает расчеты: соединил две точки прямой при помощи линейки и всё. Погрешность при этом будет невелика. С увеличением расстояний кривизна земли все больше и больше влияет на конечный результат. И если необходимо провести действительно наикратчайший маршрут между двумя точками на Земле, то тут в игру вступает ортодромия:

Вот так выглядит самый короткий путь

Ортодромия

Скучное определение из википедии:

Ортодро́мия, ортодро́ма (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения, частный случай геодезической линии. В картографии и навигации — название геодезической линии кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки.

Итак, для начала несколько упрощений и допущений. Будем считать, что поверхность Земли - шар. На самом деле это не так: из-за вращения и неоднородности в плотности составляющих Землю пород планета имеет довольно сложную форму - геоид. Для простоты и удобства расчетов используют элипсоид вращения, параметры которого представлены в различных стандартах: WGS66, GRS-76, WGS72, GRS-80, WGS84, IERS (89), ПЗ-90, IERS (2003).

Также в сферической тригонометрии одним из важных терминов является Большой круг - круг, получаемый при сечении шара плоскостью, проходящей через его центр.

Меридианы и экватор - частные случаи Большого круга

Большой круг может проходить и так

Если плоскость пересекает центр шара и две наши точки, то это сечение и будет кратчайшим путем из точки A в точку B.

Угловая длина между двумя точками:

`\delta = arccos(sin(\gamma_1)*sin(\gamma_2) + cos(\gamma_1)*cos(\gamma_2)*cos(\lambda_2 - \lambda_1))`,
где `\gamma` - широта, `\lambda` - долгота начальной и конечных точек.

Длина ортодромии:

`D = L * \delta`,
где L - длина дуги 1° меридиана Земли, и равна 40008550 м / 360° = 111134.86 м

Широта промежуточной точки как функция долготы:

`\gamma = arctg((tg(\gamma_1)*sin(\lambda_2-\lambda) ) / (sin(\lambda_2 - \lambda_1)) + (tg(\gamma_2)*sin(\lambda-\lambda_1) ) / (sin(\lambda_2 - \lambda_1)) )`